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天津市五区县2016届高三上学期期末考试数学（文）试题及答案
天津市五区县2015～2016学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题:
1-4 ABCC 5-8 BDAC
二、填空题:
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
三、解答题:
15.（本小题满分13分）
解:（I）
，由正弦定理知
即
，……………………4分
当
时，由余弦定理可得
，即
，
解得
.……………………7分
（Ⅱ）由
得
，又
，由余弦定理可得
，即
.……………………9分
因为
，所以
，……………………12分
因此
.………………………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）由题意知投资额
所满足的约束条件为
………………4分
对应的边界点分别为
，如图，可行域为四边形
及其内部区域（含边界）. …………………………7分
（II）目标函数为
，其斜率为
，…………………………9分
而可行域的边界对应的斜率分别为
…………………………10分
所以当目标函数对应的动直线
经过点
时，即甲、乙两个项目投资额分别安排1000万元、2000万元，才能使产值有最大的增加值. …………13分
17.（本小题满分13分）
（I）连结
,
,因为
是
的中位线，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
，可求
，故
,所以四边形
为平行四边形，
所以
,又因为
，
所以平面
平面
，又因为
平面
所以
平面
.……………………….4分
（II）连结,在等腰
中可求=
，又因为
,所以
,所以
.
又四棱柱是直四棱柱，故
平面
，
平面
，所以
.[来源:Zxxk.Com]
因为
,所以
平面
,
平面
,[来源:学科网]
所以
……………………….8分
（III）取
的中点
,连结
,由已知可知
为正三角形，故
,
又因为四棱柱是直四棱柱，所以平面
平面
，
所以
平面
.
连结
,则
为直线
与平面
所成的角.
在
中，
,故
,
所以
……………………13分
18．（本小题满分13分）
解：（I）由
， ①
当
时
，②……………………………………………3分
①-②化简得：
，
因为数列{
}各项为正数，当
时
，
故数列{
}是等差数列，公差为2. …………………………5分
又
，解得
，所以
.………………………7分
（II）由
得
，
， …………………………9分
当
（
）时，
，…………………11分
故
时，
. …………………………12分
综上可知
…………………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）由已知得
，解得
.
所以椭圆
的方程为
. ……………………4分
（Ⅱ）若以
为直径的圆恰好过坐标原点
，则
.
所以
的值即为点
到直线
的距离
. ……………………7分
当
的斜率不存在时，可设
,
又
在椭圆
上，所以
，即
.
所以点
到直线
的距离为
. ……………………8分
当
的斜率存在时，可设
的方程为
，与椭圆
联立消
得
，由
，得
.
设
，则
.……………10分
由
，得
，化简得
. ………12分
所以点
到直线
的距离为
.
综上，点
到直线
的距离为定值，且定值为
，
即
为定值，且定值为
. ……………………14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）
的定义域为
，
， …………………1分
解
，得
. 当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减. …………………………………3分
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减. …4分
（Ⅱ）若
在
时取得极大值，则
，则
.………5分
此时
，
.
令
，
则
.
.………………6分
令
，得
.列表得
|
| 1 |
|
|
| 0 |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ |
………………8分
由上表知，
，所以
，即
.………9分
（Ⅲ）令
………10分
则
①当
时，
，所以
在
上单调递减，所以当
，
，故只需
，即
，即
，所以
.…12分
②当
时，解
，得
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
所以当
时，
取得最大值.
故只需
，即
，
令
，则
，
，所以
在
上单调递增，又
，
，以
，所以
在
上单调递减，
在
上递增，而
，
，
所以
上恒有
，
所以当
时，
.
综上所述，
.………………………………………………14分
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