吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试数学（理）试题及答案

2015-12-04 

来源：高考试卷 

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吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试数学（理）试题及答案

试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王庶赫 审题人：刘媛媛、石泽晖

注意事项：

1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；

2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；

3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）已知集合，则实数的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

（2）已知圆，直线，则

（A）与相交 （B）与相切 （C）与相离 （D）以上三个选项均有可能

（3）已知函数，实数满足，则的所有可能值为

（A）或 （B） （C） （D）或或

（4）已知、是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为

（A） （B） （C） （D）

（5）直线，则是的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件　 （D）既不充分也不必要条件

（6）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则

的图象是

（A） （B） （C） （D）

（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则

（A） （B） （C） （D）

（8）若，且，则的值为

（A） （B） （C） （D）

（9）已知在上可导，且，则与的大小关系是

（A） （B） （C） （D）不确定

（10）已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则

（A） （B） （C） （D）

（11）已知的三边、、成等比数列，、、所对的角依次为、、. 则的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

（12）已知函数，，设函数，且函数的所有零点均在区间内，则的最小值为

（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷（主观题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）已知是奇函数，且.则 .

（14）在中，，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 .

（15）已知是曲线上的点，设，曲线在处的切线交轴于点，则数列的通项公式是 .

（16）过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于　　　　　.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本题满分12分）

设的内角、、所对的边分别为、、，且，．

（Ⅰ）求及边长的值；

（Ⅱ）若的面积，求的周长．

（18）（本题满分12分）

设数列满足：.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

（19）（本题满分12分）

如图，四棱锥中，平面平面，，，，且，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.

（20）（本题满分12分）

已知两个动点、和一个定点均在抛物线上（、与不重合）. 设为抛物线的焦点，为其对称轴上一点，若，且、、成等差数列.

（Ⅰ）求的坐标（可用、和表示）；

（Ⅱ）若，，、两点在抛物线的准线上的射影分别为、，求四边形面积的取值范围.

（21）（本题满分12分）

已知.

（Ⅰ）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最值；

（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.

请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清楚题号.

（22）（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，直线经过上的点，并且交直线于点、，其中在线段上. 连结

（Ⅰ）证明：直线是的切线；

（Ⅱ）若，的半径为3，求的长.

（23）（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，设倾斜角为的直线：（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点．

（Ⅰ）若，求线段中点的坐标；

（Ⅱ）若，其中，求直线的斜率．

（24）（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若且，判断与的大小，并说明理由.

吉大附中高中部2015-2016学年上学期高三年级第四次摸底考试数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

提示：

（12）解析： 先解不等式. 显然是原不等式的一个解. 当时，由等比数列的前项和公式，可得原不等式即. 因为函数在区间上均是连续的，且在这两个区间上无零点（若，得，而无意义）.所以函数在区间上均恒正. 总之，原不等式的解集为.

再来解答本题. 易得，由前面的结论知恒成立，所以是上的增函数，函数至多有一个零点. 又，，所以函数的唯一零点在区间内，得函数的唯一零点在区间内. 又，所以恒成立，所以是上的减函数，函数至多有一个零点. 又，

.

所以函数的唯一零点在区间内，得函数的唯一零点在区间内. 所以当“函数的零点均在区间上，且最小”时，，所以的最小值是.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13） （14） （15） （16）

提示：

（16）解析：曲线的图象如图所示：若直线与曲线相交于

两点，则直线的斜率，设：，则点到

的距离.又，

当且仅当，即时，取得最大值．所以，得，.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）解析：（Ⅰ）由，，两式相除，有

，所以，又，故， 则，所以．　　　　　 　……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，得到．由，得，

故，即的周长为. ……12分

（18）解析：（Ⅰ）因为， ①

， ②

②①，得，即，又因为，所以.

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以.

由，可得.

由可得，所以.

故有最大值，所以对任意，有，所以，

即.则，所以，，解得或，

所以的取值范围是. ……12分

（19）解析：（Ⅰ）由，可得. 由，可得. 又，知，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. ……6分

（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

得，所以

.

可求得平面的一个法向量是. 设直线与平面所成的角为，得

. 故直线和平面所成角的正弦值为. ……12分

（20）解析：（Ⅰ）设，则，，，又，且，，代入可得，又由成等差数列得，故，所以. ……6分

（Ⅱ）由得，得，故，，所以，且.又，则，，，注意到，得，，所以四边形面积的取值范围为.

……12分

（21）解析：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立. 也就是在上恒成立.令，则

. 时，，时，. 因此在处取极小值，也是最小值，即，所以. ……4分

（Ⅱ）当时，，由得.

当时，在上，在上. 因此在处取得极小值，也是最小值. 故. 由于，，因此.

当时，，因此在上单调递增，故，. ……8分

（Ⅲ）问题等价于证明，. 由（Ⅱ）知时，的最小值是，当且仅当时取等号. 设，则，易知，当且仅当时取到. 从而可知对一切，都有. ……12分

请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清楚题号.

（22）解析：（Ⅰ）证明：连结. 因为，所以 又是圆的半径，所以是圆的切线. ……5分

（Ⅱ）因为直线是的切线，所以 又，所以 则有，又，故. 设，则，又，故，即. 解得，即. 所以 ……10分

（23）解析：（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程是．当时，设点对应的参数为．直线方程为（为参数），代入曲线的普通方程，

得，设直线上的点对应参数分别为．则，所以点的坐标为． ……5分

（Ⅱ）将代入曲线的普通方程，

得，因为，

，所以，得．由于，

故．所以直线的斜率为． ……10分

（24）解析：（Ⅰ）因为，不等式的解集为空集，则即可，所以实数的取值范围是. ……5分

（Ⅱ），证明：要证，只需证，即证，又. 因为所以，所以原不等式成立. ……10分

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