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天津市五区县2016届高三上学期期末考试数学（理）试题及答案
天津市五区县2015～2016学年度第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题:
1-4 ADCC 5-8 CABD
二、填空题:
9.
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
三、解答题:
15.（本小题满分13分）
解:（I）因为
=
， ……………………………4分
函数f(x)的最小正周期T=
， …………………7分
（Ⅱ）函数
当
时，
，
所以当
时，
， ………………9分
当x＝0时，
. …………………………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场比赛，第四局甲队当裁判（记为事件
）时，即第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件
），可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件
）， ……………3分
因此
和
都发生
才发生，即
； ………6分
（II）
的所有可能取值为：0,1,2， ……………7分
记“第三局乙丙比赛，乙胜丙”为事件
，“第一局比赛，乙胜丙”为事件
，“第二局乙甲比赛，乙胜甲”为事件
，“第三局乙参加比赛，乙负”为事件
，
所以
，
，
. ……………10分
所以
的分布列是：
|
|
|
|
|
|
|
|
……………12分
所以
的数学期望
.……………13分
17.（本小题满分13分）
（I）取
的中点
，连结
,
，因为
是
的中位线，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
，可求
，故
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
又因为
，所以平面
平面
，又因为
平面
，所以
平面
. ………………………4分
（II）
法一：以
为坐标原点，直线
分别为
轴，
轴建立空间直角坐标系，设
.则
，
因为
故
，所以
.
法二：连结
,在等腰三角形
中可求
，又因为
,所以
，所以
.
又因为四棱柱是直四棱柱，故
平面
，
平面
，所以
.
因为
，所以
平面
，
平面
.
所以
. ………………………8分
（III）以
为坐标原点，直线
分别为
轴，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
设
是平面
的法向量，则
令
则
，所以
……………10分
设
是平面
的法向量，则
令
则
，
所以
……………12分
又因为二面角
为锐角，不妨设为
则
. ………13分
18．（本小题满分13分）
解：（I）由
得
，①…………………………2分
当
时
，②…………………………3分
①-②化简得：
，因为数列{
}各项为正数，当
时
，故数列{
}是等差数列，公差为2. …………………………5分
又
，解得
，所以
.………………………7分
（II）由
得
，
，…………………………9分
当
（
）时，
，………………………11分
故
时，
.…12分
综上可知
…………………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）设椭圆
的方程为
，由题意得，
，解得
，所以椭圆
的方程为
. ……4分
（Ⅱ）(i)因为
，所以在
中
，…5分
所以
的面积
=
. …7分
又
，所以
，由
得
，故
…9分
（ii）因为
，
，所以直线
的方程为
，
即
……10分
因为
的内切圆的半径为
，所以可设
，
则
，……12分
解得
或
（舍），所以直线
的方程为
……14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当
时，
. …………1分
若
，则
，
；若
，则
，
………2分
综上，函数
的增区间为
，减区间为
. …………4分
（Ⅱ）因为函数
在点
处的切线与直线
垂直，且
所以
，
故
.令
， …………5分
则
，因为
，所以
，
又因为
，所以
时，方程
有唯一解
. …………7分
(ⅰ) 当
时，
令
.
则
，所以
在
时单调递增，即
.
故
时，
. …………10分
(ⅱ) 若对任意
,且
,由（Ⅰ）知，
必一正一负，不妨设
，由(ⅰ)知，
,而由（Ⅰ）知，
时，函数
在
上单调递减，所以
，即
. ………14分
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