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上饶市重点中学2015届高三六校第一次联考
数学试卷
（文科）
命题学校：上饶市二中 主命题：严慧敏 副命题：江金花
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．从标有１,２,３,４,５,６的６张纸片中任取２张，那么这２张纸片数字之积为６的概率是（ ）
A． 
B．
C．
D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（ ）
A． 
B．
C．
D．
6．下面四个命题：
（1）“
”是“
”的充要条件。
（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”。
（3）“直线
∥直线
”的充分不必要条件是“直线
平行于直线
所在的平面”。
（4）命题“若
，则
”的逆命题是真命题。
其中正确命题的序号是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．(4) D．（2）(4)
7．已知向量
，若向量
与向量
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．观察下列各式：
，
，
若
，则
=（ ）
A．80 B．81
C．728 D．729
9．一个几何体的三视图如图所示，
其中俯视图是一个正方形，则这
个几何体的体积是（ ）
A．64 B．32
C．16 D．8
10．定义在R上的函数
，满足
，
'
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．过抛物线：
的焦点F作倾斜角为
的直线
，若直线
与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：
的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，圆
上一定点A(0，1),一动点M从
A点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA按逆时针方
向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为
，直线AM
与X轴交于点N（t,0）,则函数t =
的图像大致为（ ）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．若曲线：
在点（0,2）处的切线与直线
垂直，则
=_____．
14．某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：
，
，它的频率分布直方图如
图所示，则该批学生中成绩不低于90
分的人数是_____．
15．已知变量x，y满足约束条件
，则
的取值范围是_____．
16．若关于
的不等式
有解时，实数
的最大值为5，则实数
的值为_____．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量
，函数
图像的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为
.
（1）求
的解析式；
（2）在
中，
分别是角A,B,C的对边，
且
，求边
的值.
18．（12分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，
其中心为点O.
（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足
在
上的投影大于
的概率;
（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为
，求
大于等于
的概率.
19．（12分）如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等。D为AC上一点，且BD
DC1.
（1）求证：直线AB1∥平面BDC1
（2）求点A到平面BDC1的距离.
20．（12分）已知数列
的前
项和
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求
的前
项和
.
21．（12分）已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足
．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F作直线
与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）．连接AC，BC与直线
分别交于点M，N．试证明：以MN为直径的圆恒过点F．
22．（12分）设函数
.
（1）求
的单调区间；
（2）令
，其图像上任意一点
处切线的斜率
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）求证：对于任意正整数
，有
.
高三数学参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
答案 | D | D | A | C | B | C |
题号 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | C | B | D | A | A |
13．
14．65
15．
16．
或-6
17．解：
（1）
………………………… （2分）
的最小正周期为
………
（2）
……………… （6分）
又
…………… （8分）
由余弦定理知：
………… （10分）
18．解：（1）
，
在
上的投影为
当P在线段FE（除点F）和线段ED（除点D）上运动时，
在
上的投影大于
，
在
上的投影大于
的
概率
。 ……………………………… （6分）
（2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距
离一定是大于等于
。
六个点中随机选取两个点,总共有15种：（A,B),(A,C),(A,D),(A,E),
(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)
…………………………………… （12分）
19．解：（1）证明：连接
与
交于点O，连接OD，
又
△ABC为等边三角形
为
中点
平行四边形
中O是
的中点
…………… （6分）
（2）设点A到平面BDC1的距离为d
等于点C到平面BDC1的距离
过点C作
垂足为E
则CE点C到平面BDC1的距离
，
……………………（12分）
20．解：（1）当
时，
，
当
时，
不满足上式
……………………（6分）
（2）
……………………（12分）
21．解：（1）如图取
连接
由双曲线定义知，点P的轨迹是以
为焦点的双曲线的右支
的轨迹方程为：
……………………（5分）
（2）设
，
直线
方程为
联立
整理得：
……………………（6分）
三点共线 
同理
………………………（8分）
即
为直径的圆恒过点
……………………（12分）
22．解：
（1）
的定义域是
……………………（1分）
（舍去）
的单调递增区间是
单调递减区间是
……………………（3分）
（2）
恒成立
即
令
，有
在
单调递减
……………………（7分）
（3）由（1）知，
在
上单调递减
在
上单调递增 
……
以上
个式子相加，
即
……………………（12分）
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