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天津市五区县2015届高三质量调查（一）数学（理）试题及答案
数学（理科）参考答案及评分标准
1-4 ACBD 5-8 ADBC9.
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
…………4分
由
得
，
所以函数
的单调递增区间为
（
）………………6分
（Ⅱ）函数
的图象上所有点的横坐标扩大到原来的二倍，再向右平移
个单位，得
， ………………8分
因为
得：
，所以
…………10分
所以当
时，
有最小值
，
当
时，
有最大值1. ………………13分
16.解：（I）总的事件空间所包含的基本事件数为
,…………2分
评委甲去
班听课所包含的基本事件数为
， …………4分
设事件
为评委甲去
班听课，则
…………6分
（II）由题意
所有可能的值为1,2,3. …………7分
;
;
; …………10分
所以
的分布列为
| 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
所以所求数学期望为
. …………13分
17.解：（I）如图取
中点
，连结
，
，则
，……………1分
依题意，
，而
，
，……………2分
故
,
，又因为
,故
平面
，
平面
，故平面
平面
.……………4分
（II）由题意知四边形
为矩形，
，因为
，又
，且
，所以可建立如图空间直角坐标系
.则：
,
，
，
所以
，
，
,
………6分
设平面
的法向量
，平面
的法向量
，
，即
，令
，于是
，又
，即
，
令
，于是
，
.…………8分
故二面角
的余弦值为
.………………………………………9分
（III）因为
，所以
，………10分
+
=
，………11分
设
与平面
所成角为
，
.………13分
18．（本小题满分12分）
解：（I）易知
，因为
是
的垂直平分线，所以
，故
（圆的半径）；
，则
，
根据椭圆的定义，点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且
，其方程为
. ………5分
（II）设
，将
（
）代入
可得
，
，
； ………7分
又
，整理得
， ………9分
从而
，解得
，又
，则
.………13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为对任意正整数
，有
，
所以当
时，有
，解得
.………………………………2分
当
时，有
， ……4分
整理得
.………………………………………………………………7分
所以
. ………………7分
当
时，
，符合
，所以对任意正整数
，有
.……8分
（Ⅱ）
.…………………………9分
即
，则
，两式相减可得
………………………………………………11分
所以
.………………………………………………………12分
所以
为递增数列，所以当
时，
最小，最小值为
.
所以
. ……………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由
得
.
①当
时，
恒成立， 
单调递减. ………………2分
②当
时，由
，得
.
令
，得
，
单调递减；令
，得
，
单调递增.
综上：
时，函数
的单调减区间为
，无单调增区间；
时，函数
的单调减区间为
，单调增区间为
.
……………………4分
（Ⅱ）若
恒成立,则
恒成立.
因为
，所以
时，不等式恒成立. ………………5分
当
时，
等价于
，即
恒成立.
令
，则
.令
，得
. ………………7分
令
，得
，
单调递增；令
，得
，
单调递减.
所以
时，
.所以
.
即实数
的取值范围是
. ……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
时，
在
时恒成立， …………………10分
所以
时，
恒成立，即
.
所以
，
. …………………12分
各式左右两边分别相乘得
，
.
所以
，所以
，
即
时，
. ……………………14分
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