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2015年江西省赣州市高三摸底考试数学（文科）试卷及答案
赣州市2015年高三模底考试文科数学参考答案
一、选择题
1～5 CABBD 6～10 CAADA 11～12 DB
二、填空题
13．
14．5 15．
16．
三、解答题
17．（1）由正弦定理得
…………………………2分
所以
……………………………………………………4分
因为
，故
………………………………………………………………5分
所以
……………………………………………………………………………………6分
（2）由
，得
…………………………………………………………7分
由条件
，
，
所以由余弦定理得
………………………9分
解得
………………………………………………………………………12分
18．（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD
平面ABCD
，
所以
平面PAD………………………………………………………………………2分
又
平面PAD，所以PD⊥AB………………………………………………………3分
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…………………………………………………………5分
（2）设
，则
……………………………………………………6分
在Rt△PAE中，
………………7分
在Rt△BEC中，
………………8分
在Rt△BEC中，
……………9分
由
得
，即
，解得
……10分
所以四棱锥
的高
………………………………………………11分
故四棱锥
的体积
…………………………12分
19．解：（1）由图知第四组的频率为
，
第五组的频率为.
………………………………………………………3分
又有条件知前三组的频率分别为
，所以
…………………5分
（2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为
体重不小于70千克的学生2人，记为
…………………………………………………6分
从中抽取满足条件的所有结果有：
，
共12种…………………10分
所求事件的概率为
………………………………………………………………12分
20．（1）设
，则
……………………………………1分
，依题意有
又
，所以解得
故
的方程为
……………………………………………………………………5分
（2）设直线MN的方程为
，代入E的方程得
……6分
设
，则
…………………………7分
直线MA的方程为
，把
代入，
得
，同理
…………………………………………………8分
所以
所以
…………………………………………………………………9分
…………………………………………………………10分
，所以
，解得
…………………………………11分
故直线l的方程为
或
……………………………………………12分
21．（1）
，所以
…………………………………………1分
依题意知
，解得
………………………………………………………2分
把点
代入切线方程得
，所以
……………………………4分
（2）欲证
，只需证
……………………………5分
记
，则
，记
………………6分
则
，由此可知
在
上单调递减，在
上单调递增…7分
因为
，
故
在
只有一个零点
，且
……………………9分
所以
在
递减，在
递增…………………………………………………10分
所以当
时，
……………………………11分
所以
故
………………………………………………………………………12分
选做题
22．（1）因为
为圆
的一条直径，所以
…………………………………2分
又
，所以
四点共圆…………………………………………………4分
(2)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得
，代入解得AD=4………………………………………5分
所以
…………………………………………………6分
又△AFB∽△ADH，所以
………………………………………………………7分
由此得
………………………………………………………………8分
连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，
……9分
故△BDF的外接圆半径为
………………………………………………………………10分
23．（1）
…………………………………………………4分
（2）依题意知圆心到直线
的距离为3…………………………………………………5分
当直线
斜率不存在时，直线
的方程为
，
显然，符合题意，此时
……………………………………………………………6分
当直线
存在斜率时，设直线
的方程为
………………………………7分
则圆心到直线AB的距离
………………………………………………………8分
依题意有
，无解…………………………………………………………………9分
故
…………………………………………………………………………………10分
24．（1）当
时，
……………………3分
根据图易得
的解集为
……………………5分
（2）令
，
由
对任意
恒成立等价于
对任意
恒成立………6分
由（1）知
的最小值为
，所以
………………………………8分
故实数a的取值范围为
……………………………………………………10分
法（2） 易知
，只需
且
，解得
．
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