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2015年江西省赣州市高三摸底考试数学（理科）试卷及答案
赣州市2015年高三年级模底考试理科数学参考答案
一、选择题
1～5.BADAC； 6～10.BDCAC； 11～12.CD.
12.解：当
时，
，显然满足，故
，排除A，B；
当
时，
，
，所以
在
上递减，所以
，满足条件，排除C，故选D.
二、填空题
13．
； 14．
； 15．
； 16．
.
16.解：由已知得：
，
，……，
，
，把以上各式相加得：
，
所以
，即
，所以
三、解答题
17．（1）由正弦定理得
…………………………………………2分
…………………………………………………………………………………3分
所以
……………………………………………………4分
因为
，故
………………………………………………………………5分
所以
……………………………………………………………………………………6分
（2）由
，得
…………………………………………………………7分
由条件
，
，
所以由余弦定理得
………………………9分
解得
………………………………………………………………………12分
18．（1）证明：因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
………………………………………………………………………1分
又
平面
，所以
……………………………………………………2分
又
，所以PD⊥平面
………………………………3分
而
平面PCD，故平面PCD⊥平面
……………………4分
（2）如图，建立空间直角坐标系…………………………………5分
设
，则
，
，
，
，
…………………6分
，则
得
，
……………………………………………………8分
设平面PEC的一个法向量
，
由
得
令
，则
……………………………………………………………………9分
，
，设平面PEC的一个法向量
，
由
得
，令
，则
……………………10分
设二面角
的大小为
，则
…………11分
故二面角
的余弦值为
……………………………………………………12分
19．（1）因为“铅球”科目中成绩等级为
的考生有16人，
所以该班有
人……………………………………………………………………2分
所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为
………………………………………………4分
（2）设两人成绩之和为
，则
的值可以为16，17，18，19，20 …………………6分
，
，
，
…………………………………………9分
所以
的分布列为
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|
|
|
|
|
|
……………………………………………10分
所以
…………………………11分
所以
的数学期望为
……………………………………………………………………12分
20．（1）设
，则
……………………………………1分
，依题意有
又
，所以解得
故
的方程为
……………………………………………………………………5分
（2）设直线
的方程为
，代入
的方程得
设
，则
…………………………6分
直线MA的方程为
，把
代入得
同理
………………………………………………………………………………7分
所以
…………………………………8分
所以
……………………………………………………………9分
，令
，则
，
所以
……………………………………………………………………10分
记
，则
……………………………………11分
所以
在
单调递增地，所以
的最小值为
故
的最小值为
…………………………………………………………………12分
21．（1）因为
………………………………………………………1分
而
，所以
，解得
………………………………………………2分
所以
，因此
………………………………………………………………3分
由
知，
当
时，
，当
且
时，
……………………………4分
故
的单调增区间是
，减区间是
和
………………………5分
（2）所证不等式等价于
……………………………………6分
因为
，先证
…………………………………7分
记
，记
，则
由此可知，
在
上单调递减，在
上单调递增
因为
，
，
故
在
只有一个零点
………………………………………9分
且
，
所以
在
递减，在
递增
所以当
时，
……………………………10分
即
，又
所以
………………………………11分
即
，故
……………………………………12分
选做题
22．（1）因为
为圆
的一条直径，所以
…………………………………2分
又
，所以
四点共圆…………………………………………………4分
(2)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得
，代入解得AD=4………………………………………5分
所以
…………………………………………………6分
又△AFB∽△ADH，所以
………………………………………………………7分
由此得
………………………………………………………………8分
连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，
……9分
故△BDF的外接圆半径为
………………………………………………………………10分
23．（1）
…………………………………………………4分
（2）依题意知圆心到直线
的距离为3…………………………………………………5分
当直线
斜率不存在时，直线
的方程为
，
显然，符合题意，此时
……………………………………………………………6分
当直线
存在斜率时，设直线
的方程为
………………………………7分
则圆心到直线AB的距离
………………………………………………………8分
依题意有
，无解…………………………………………………………………9分
故
…………………………………………………………………………………10分
24．（1）当
时，
……………………3分
根据图易得
的解集为
……………………5分
（2）令
，
由
对任意
恒成立等价于
对任意
恒成立………6分
由（1）知
的最小值为
，所以
………………………………8分
故实数a的取值范围为
……………………………………………………10分
法（2） 易知
，只需
且
，解得
．
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