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河北省唐山市2015届高三9月模拟考试数学（文）试题及答案
唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一、选择题：
A卷：CDBCA BCDCD BA
B卷：ADBCC ACDDC BB
二、填空题：
（13）（，＋∞） （14）6 （15）x2－＝1 （16）3＋
三、解答题：
（17）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由题设得a1＝S1＝2k－1，
a2＝S2－S1＝4k－1，
由a2－a1＝2得k＝1，
则a1＝1，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. …4分
（Ⅱ）bn＝bn­－1＋2＝bn­－2＋2＋2＝b1＋2＋2＋…＋2＋2．
由（Ⅰ）知2＝22n－1，又因为b1＝2，所以
bn＝21＋23＋25＋…＋22n－3＋22n－1＝＝．
明显，n＝1时，也成立．
综上所述，bn＝． …12分
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由直方图可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，
解得x＝0.0125． …4分
（Ⅱ）设中位数为t，则
20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5，得t＝30.
样本数据的中位数估计为30分钟． …8分
（Ⅲ）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．
因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，
抽取不享受补助人员25×88%＝22人． …12分
（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，
则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．
因为DEÌ平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，
则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，
则C到与平面ADC1的距离即为所求． …6分
因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，
所以AD⊥平
面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．
作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离． …10分
在Rt△DCC1中，CF＝＝．
所以A1到与平面ADC1的距离为． …12分
（20）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）f¢(x)＝2ex－a．
若a≤0，则f¢(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a＞0，则
当x∈(－∞，ln)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(ln，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增． …5分
（Ⅱ）注意到f(0)＝0．
若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．
若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．
若ln＞0，即a＞2，则当x∈(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)＜0，不合题意．
综上所述，a的取值范围是(－∞，2]． …12分
（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）因为离心率为
，所以＝．
当m＝0时，l的方程为y＝x，
代入并整理得x2＝． …2分
设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，
·＝－x－y＝－x＝－·．
又因为·＝－，所以a2＝25，b2＝16，
椭圆C的方程为． …5分
（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得
25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PB|2＝y． …8分
则|PA|2＋|PB|2＝( y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]
＝[(－)2－]＝41．
所以，|PA|2＋|PB|2是定值． …12分
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选
讲
解：
（Ⅰ）证明：
因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，
所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.
又AT 2＝AB×AD，所以AT 2＝BT×AD． …4分
（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．
由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．
因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT＝∠DBT＝90°.
所以∠A＝∠ATB＝45°. …10分
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*）
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1． …10分
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：
（Ⅰ）由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|
≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，
当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． …4分
（Ⅱ）f(2)＝|2－|＋|2＋m|．
当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．
当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．
综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10分
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