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河北省唐山市2015届高三9月模拟考试数学（理）试题及答案
唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
所以bn＝＋n×4n＝. …11分
明显，n＝1时，也成
立．
综上所述，bn＝． …12分
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i＝0，1，2，3，4，5），
则P(A2)＝＝． …4分
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．
P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝ ＋＝；
P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P
(A1)＋P(A4)
＝ ＋＝；
P(ξ＝5)＝P(A1＋A4) ＝P(A0)＋P(A5)＝ ＋＝．
则随机变量ξ的分布列为
ξ | 1 | 3 | 5 |
P |
…10分
则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分
（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，
则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．
因为DEÌ平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1． …4分
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，
C1(0，1，2) D(，，0)，
＝(，，0)，＝(0，1，2)．…6分
设平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，则
不妨取m＝(2，－2， 1)． …9分
易得平面ABA1的一个法向量n＝＝(0，1，0)． …10分
cos<m，n>＝＝，
平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是． …12分
（20）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）因为离心率为，所以＝．
当m＝0时，l的方程为y＝x，
代入并整理得x2＝． …2分
设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，
·＝－x－y＝－x＝－·．
又因为·＝－，所以a2＝25，b2＝16，
椭圆C的方程为． …5分
（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，[来源:学科网]
则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PB|2＝y． …8分
则|PA|2＋|PB|2＝( y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]
＝[(－)2－]＝41．
所以，|PA|2＋|PB|2是定值． …12分
（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）f¢(x)＝2ex－a．
若a≤0，则f¢(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a＞0，则
当x∈(－∞，ln)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(ln，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增． …4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知若a≤0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，故f(x)≥0不恒成立．
若a＞0，则由f(x)≥0＝f(0)知0应为极小值点，即ln＝0，
所以a＝2，且ex－1≥x，当且仅当x＝0时，取“＝”． …7分
当x1＜x2时，f(x2)－f(x1)＝2(ex2－ex1)－2(x2－x1)
＝2ex
1(ex2－x1－1)－2(x2－x1)
≥2ex1(x2－x1)－2(x2－x1)
＝2(ex1－1
) (x2－x1)，
所以＞2(ex1－1)． …12分
注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：
（Ⅰ）证明：
因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，
所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.
又AT 2＝AB×AD，所以AT 2＝BT×AD． …4分
（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．
由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．
因为DE＝DF，M
为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT＝∠DBT＝90°.
所以∠A＝∠ATB＝45°. …10分
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*）
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1． …10分
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：
（Ⅰ）由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|
≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，
当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． …4分
（Ⅱ）f(2)＝|2－|＋|2＋m|
．
当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．
当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．
综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10分
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