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肇庆市中小学教学质量评估
2016届高中毕业班第二次统一检测题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | D | B | A | C | A | C | B | C | D | C | B |
9解析：圆柱的侧面积为
，半球的表面积为
，
圆锥的侧面积为
，
所以几何体的表面积为
12解析：当
时，函数
的最小值为
；
当
时，
的最小值为
，所以函数
在
的最小值为
，
当
时，有
，
又由
得，
，
所以当
，也就是
时，函数
的最小值为
.
若当
时，函数
恒成立，只需
，
即
，解得
，所以实数t的取值范围为
．
二、填空题
13．180 14．3 15．
16．
16. 解析：由
，得
，
即
，因为角
是锐角，所以
.
（接上）法一：所以
，
所以
又因为 
，所以 
，所以 
所以 
， 所以 
.
法二：由余弦定理得
当且仅当
时等号成立. 由
，得
，
又 
， 所以
.
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
成等差数列，∴
， （1分）
由正弦定理得
， （3分）
又
，可得
， （4分）]
∴
， （6分）
∵
， ∴
，
∴
. （8分）
（Ⅱ）由
，得
， （9分）
∴
， （10分）
∴
，解得
. （12分）
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当
时，由
，得
. （1分）
当
时，由
（3分）
得
， （4分）
所以数列{
}是首项为2，公比为2的等比数列，故
. （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以
， （7分）
所以
① （8分）
①式两边乘以
，得
② （9分）
①－②得
（10分）
（11分）
所以
. （12分）
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）A、B两种产品数据的茎叶图如图
（2分）
∵
（3分）
（4分）
∵
，
，∴从统计学角度考虑，生产A型号产品合适. （6分）
（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3. （7分）
产品A不低于8.5 的频率为
，若将频率视为概率，则
~
. （8分）
所以
，k=0，1，2，3. （9分）
所以
的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
（10分）
所以
. （12分）
（20）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵四边形ABGF，ADEF都是矩形，
所以AF^AB，AF^AD， （1分）
又AB∩AD=A，且AB、ADÌ平面ABCD，
所以AF^平面ABCD. （2分）
又
平面ABCD ， ∴BD⊥AF. （3分）
又∵
，
是菱形ABCD 的对角线，
∴BD⊥AC . （4分）
∵
平面ACF ,
，∴BD⊥平面ACF ， （5分）
又∵
平面BDFG ， ∴平面ACF⊥平面BDEG. （6分）
（Ⅱ）法一：
解：以
为原点，
所在直线分别为x轴，y轴，
平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系. （7分）
∵ABCD是菱形，且
∴
是等边三角形，OB=OD=1，
. （8分）
∵
，∴
的坐标分别为
. （9分）
∴
， （10分）
所以
， （11分）
即直线
与
所成角的余弦值为
. （12分）
法二：（略解）延长CB至点H，使得BH=BC，连结AH，GH，
可证得四边形GHAE为平行四边形，可得GH//EA，
所以直线GH与GC所成的角就等于直线
与
所成的角.（9分）
在
中，可求得
所以直线
与
所成角的余弦值为
. （12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数
的定义域为（0，+∞）.
（1分）
①当
，即
时，
因为当
时，
；当
时，
； （2分）
所以
在
上单调递减，在
上单调递增. （3分）
②当
，即
时，
因为当
时，
，故
在
上单调递增. （4分）
综上，当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
. （5分）
（Ⅱ）在
上存在一点
，使得
，即
，
（6分）
也就是在
上存在一点
，使得
，即函数
在
上的最小值小于零. （7分）
由（Ⅰ）可知：
①当
，即
时， 
在
上单调递减，
所以
的最小值为
，由
，可得
.
因为
，所以
； （8分）
②当
，即
时，
在
上单调递增，
所以
最小值为
，由
，可得
； （9分）
③当
，即
时， 可得
最小值为
，
（10分）
因为
，所以
，
故
，此时，
不成立. （11分）
综上讨论可得所求
的范围是：
. （12分）
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
（Ⅰ）证明：如图，连结AB.
∵MN切⊙O于点A，∴OA⊥MN.? （1分）
又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四点共圆， （2分）
所以∠QPA =∠ABC.? （3分）
又∵∠CAN =∠ABC，∴∠CAN =∠QPA.? （4分）
∴PQ∥AC.? （5分）
（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形.?（6分）
∵∠CAN =∠E，∠CAN =∠QPA，∴∠E =∠QPA. （7分）
∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴
=
， （9分）
故
=
. （10分）
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由
得，
，
∴直线
的普通方程为
. （2分）
由
得，
， （3分）
∴
， （4分）
∴圆C的平面直角坐标方程为
. （5分）
（Ⅱ）∵直线
与圆C恒有公共点，∴
， （7分）
解得
或
， （9分）
∴
的取值范围是
． （10分）
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）
（3分）
函数的图象为：
（5分）
从图中可知，函数
的最小值为
. （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数
的最小值为
，要使不等式
的解集非空，
必须
，即
. （9分）
∴
的取值范围是
. （10分）
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