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河南省南阳市2016届高三上期期终质量评估数学（理）试题及答案
2015年秋期期终质量评估高三年级数学（理）参考答案
一、选择题CBDCA ABBDA CB
二、填空题13. 
14. 
15. 
16.
.
三、解答题：
17.解：（1）由正弦定理得：
即
………2分
∴
即
………4分
∵
∴
即
∴
成等差数列。 ………6分
（余弦定理也可解决）
（2）∵
∴
………8分
又
………10分
由（1）得：
∴
∴
即
………12分
18. 解：（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ………1分
． ………4分
（2）依据条件，ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：
． ………6分
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
………8分
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
，
一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则
． ………10分
∴
，
∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级． ………12分
19. （1）证明：
，
∥
又
面
又
面
………2分
以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系 
则
,
,
,
,
设
，
且
,
即：
………5分
………6分
（2）假设存在,设面
的法向量为 
，
则 
即： 
令
. ………8分
由题可知面
的法向量
………9分
平面
与平面
所成锐二面的余弦值为
即：
或
（舍） ………11分
当点
为
中点时，满足要求. ………12分
20. 解：（Ⅰ）由题意得
.
椭圆
的方程为：
……………………………………………………4分
（Ⅱ）设
，则
的中点为
，
,
所以以
为直径的圆的方程为：
.
令
，得
，
设
的坐标分别为
,
,
，
因为A、M、G三点共线，则
因为M、B、H三点共线，则
两式相乘得
.
因为
在椭圆上，所以
，
所以
.……………………………………………………8分
所以
.
所以，以
为直径的圆恒过
轴上的定点
…………………………12分
21. 解（Ⅰ）由
，则
．
当
时，对
，有
，所以函数
在区间
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
，
此时函数
的单调增区间为
，单调减区间为
．
综上所述，当
时，函数
的单调增区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为
，单调减区间为
． 4分
（Ⅱ）函数
的定义域为
，
由
，得
（
） 5分
令
（
），则
， 6分
由于
，
，可知当
，
；当
时，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故
．
又由（Ⅰ）知当
时，对任意
，有
，即
，
（随着
的增长，
的增长速度越来越快，会超过并远远大于
的增长速度，而
的增长速度则会越来越慢．则当
且
无限接近于0时，
趋向于正无穷大.）
当
时，函数
有两个不同的零点；
当
时，函数
有且仅有一个零点；
当
时，函数
没有零点． 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当
时，
，故对任意
，
先分析法证明：任意
，
． 10分
要证任意
，
，只需证任意
，即证任意
，
构造函数
，则
，
故函数
在
单调递增，所以
，则任意
成立．
当
时，由（Ⅰ），
在
单调递增，则
在
上恒成立；
当
时，由（Ⅰ），函数
在
单调递增，在
单调递减，
故当
时，
，所以
，则不满足题意．
所以满足题意的
的取值范围是
． …………12分
22. 证明:(1)∵
是圆
的切线, 
是圆
的割线, 
是
的中点,
∴
, ∴
,
又∵
, ∴△
∽△
,
∴
, 即
.
∵
, ∴
, ∴
,
∴△
∽△
. ………5分
(2)∵
,∴
,即
,
∴
, ∵△
∽△
,∴
,
∵
是圆
的切线,∴
,
∴
,即
,
∴
, ∴四边形PMCD是平行四边形. ………10分
23.解：（I）圆
的直角坐标方程为
，
直线
的直角坐标方程为
。
联立得
，解得
或
所以C1与C2交点的极坐标为
，
………5分
（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为
，
由参数方程可得
，所以
，解得
。…10分
24.解： (1)由
得：
或
或
………3分
解得
所以
的解集为
………5分
（2）
当且仅当
时，取等号. ………8分
由不等式
对任意实数
恒成立，可得
解得：
或
.
故实数
的取值范围是
………10分
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