河北省唐山市2017届高三上学期期末考试理科数学试题及答案（B卷）

2021-04-18 

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河北省唐山市2017届高三上学期期末考试理科数学试题及答案（B卷）

唐山市2016—2017学年度高三年级期末考试

理科数学参考答案

一、 选择题：

A卷：BCADB ACDBA AD

B卷：BCADD ACDBA AB

二、填空题：

（13）12(5) （14）1 （15）9(x2)＋6(y2)＝1 （16）5(5)

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）由正弦定理得：

2sinBcosB＝sinAcosAcosB－sinBsin2A－sinCcosA

＝sinAcos(A＋B)－sinCcosA

＝－sinAcosC－sinCcosA

＝－sin(A＋C)

＝－sinB，

∵sinB≠0，

∴cosB＝－2(1)，B＝3(2π)． …6分

（Ⅱ）由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝a，cosB＝－2(1)得

c2＋ac－6a2＝0，解得c＝2a， …10分

由S△ABC＝2(1)acsinB＝2(3)a2＝2，得a＝2． …12分

（18）解：

（Ⅰ）

k＝50×150×40×160(5×115－35×452)＝6(25)≈4.167＞3.841，

所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． …6分

（Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为5(1)，

将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X~B(3，5(1))．

P(X＝k)＝C3(k)×(5(1))k(1－5(1))3－k（k＝0，1，2，3），

…10分

E(X)＝3×5(1)＝5(3)． …12分

（19）解：

（Ⅰ）证明：连接AC，则△ABC和△ACD

都是正三角形．

取BC中点E，连接AE，PE，

因为E为BC的中点，

所以在△ABC中，BC⊥AE，

因为PB＝PC，所以BC⊥PE，

又因为PE∩AE＝E，

所以BC⊥平面PAE，又PAì平面PAE，

所以BC⊥PA．

同理CD⊥PA，

又因为BC∩CD＝C，

所以PA⊥平面ABCD． …6分

（Ⅱ）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则B(，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

→(PD)＝(0，2，－2)，→(BD)＝(－，3，0)，

设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)

则·m＝0，(BD)即x＋3y＝0，(2y－2z＝0，)

取平面PBD的法向量m＝(，1，1)， …9分

取平面PAD的法向量n＝(1，0，0)，

则cosám，nñ＝|m|·|n|(m·n)＝5(15)，

所以二面角A-PD-B的余弦值是5(15)． …12分

（20）解：

（Ⅰ）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y．

解方程组x2＋y2＝1(x2＝4y，)，得yA＝－2，所以|AF|＝－1． …5分

（Ⅱ）设M(x0，y0)，则切线l：y＝p(x0)(x－x0)＋y0，

整理得x0x－py－py0＝0． …6分

由|ON|＝1得|py0|＝＋p2(2)＝，

所以p＝－1(2)且y0(2)－1＞0， …8分

所以|MN|2＝|OM|2－1＝x0(2)＋y0(2)－1＝2py0＋y0(2)－1

＝0(2)0(2)－1(2)＋y0(2)－1＝4＋0(2)－1(2)＋(y0(2)－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立，

所以|MN|的最小值为2，此时p＝． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f′(x)＝x2(1－lnx)（x＞0），

当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝e(1)． …4分

（Ⅱ）g′(x)＝lnx－ax＝x(x(lnx)－a)，由（Ⅰ）及x∈(0，e]得：

①当a＝e(1)时，x(lnx)－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，

当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－2(e)． …6分

②当a∈[0，e(1))，f(1)＝0≤a，f(e)＝e(1)＞a，

所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，

当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，

当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a)． …9分

令h(a)＝G(t)＝2(t lnt)－t，

因为G′(t)＝2(lnt－1)＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－2(e)，－1]．

综上，h(a)∈[－2(e)，－1]． …12分

（22）解：[来源:学科网]

（Ⅰ）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，

C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． …4分

（Ⅱ）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－4(π)＜α＜2(π)，

则ρ1＝cosα＋sinα(4)，ρ2＝2cosα， …6分

|OA|(|OB|)＝ρ1(ρ2)＝4(1)×2cosα(cosα＋sinα)

＝4(1)(cos2α＋sin2α＋1)＝4(1)[cos(2α－4(π))＋1]， …8分

当α＝8(π)时，|OA|(|OB|)取得最大值4(1)(＋1)． …10分

（23）解：

（Ⅰ）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝x＞2．(3x－4，)

所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，

又f(0)＝f(3(8))＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤3(8)}． …4分

（Ⅱ）

①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，

当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2． …6分

②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意． …7分

③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，

当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾． …9分

综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． …10分

解法2

f(x)≥1Tf(1)＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2. …6分

当a≥2时，f(x)＝a|x－1|＋|x－a|＝x＞a．(x－2a，)

所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f(x)≥f(1)． …8分

f(x)≥1Ûf(1)＝a－1≥1，解得a≥2．

综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． …10分

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