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广西梧州高级中学2016届高三上学期调研考试理科数学试题及答案
高三调研考试（三）
数学（理科）参考答案
1. 【答案】B
【解析】因为
，又
，所以
.所以
｛x|x<-1｝.故选B.
2. 【答案】A
【解析】由题知
，对应点是
在第一象限. 故选A.
3. 【答案】C
【解析】根据命题的否定的定义知，命题“
”的否定为“
”.故选C.
4. 【答案】C
【解析】
，则函数
在点
处的切线方程为
，即
.因为切线过点
，所以代入得
，解得
.
5. 【答案】D
【解析】设单位向量为
，则
.由平面向量
与
垂直，所以ab=
，化简得
.联立
可得
或
故
或
.
6. 【答案】D
【解析】
，
，
所以
.
7. 【答案】A
【解析】因为
可化为
，且
，所以
.
所以
.设直线
的倾斜角为
，则
.所以
.
8.【答案】A
【解析】当
时，若输出的
，则
，得
，解得
.观察四个选项，发现只有
满足；当
时，若输出的
，则
，解得
.观察四个选项，没有符合的情况.故选A.
9. 【答案】A
【解析】画出约束条件
表示的可行域如图阴影部分所示，
由
，得
，表示斜率为－2，在y轴上的截距为z的直线系，平移直线
，当其经过可行域内的点
时，截距最小，
最小，由
得点
，则
.故选A.
10. 【答案】A
【解析】因为
的周长为
，所以
.即
.所以
①.由余弦定理，得
②，由①②，解得
.故选A.
11. 【答案】B
【解析】因为
，所以
；
因为
，
，所以
.即
；
，因为
，所以
.即
.
所以
.故选B.
12. 【答案】B
【解析】因为函数
在
上单调递增.下面证明
.假设
，则
，不满足
；同理假设
，也不满足
.综上，
.令函数
，得
.令
，得
，当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递增，所以
.即
.即
.即
.故选B.
13.【答案】
【解析】由题意，
，所以
.所以当
时，
取得最小正值
.
14. 【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥与长方体的组合体，其直观图如下：
其中，三棱锥的底面是直角边长分别为
的直角三角形，且有一条长为1的侧棱垂直于底面；
长方体的长、宽、高分别为
，故该几何体的表面积为
.
15. 【答案】
【解析】以
两点为直径的圆的方程为
，圆心为
，半径为
.要使对圆
上任意一点
，都有
为锐角，则圆
和圆
相离，所以
，解得
.故正数
的取值范围是
.
16. 【答案】
【解析】由
，得
，当且仅当
，即
时等号成立，此时
.
所以
.
所以当
，即
时，
取得最小值
.
17.解：（1）设等比数列
的公比为
.
由
是
与
的等差中项，得
，
………………………………2分
即
，得
，解得
或
.
………………………………4分
当
时，数列
的通项公式为
；
………………………………5分
当
时，数列
的通项公式为
.
………………………………6分
（2）设数列
的公差为
.
由
，得
………………………………7分
得
解得
（舍去）或
………………………………9分
此时数列
的通项公式为
，
则
数列
的前n项和为
而
，满足
，符合题意，
所以数列
的通项公式为
.
………………………………12分
18.解：（1）男生的平均成绩为
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.25+90×0.1=73;（2分）
由频率分布直方图知，女生成绩的中位数在[80,90]内，设为
，
则（90－
）×0.032+0.02×10=0.5，解得
=80.625，（4分）
（2）由频率分布直方图知女生成绩在[90,100]的人数为0.02×10×25=5，
男生成绩在[90,100]的人数为0.010×10×20=2，（5分）
∴
的可能取值为1,2,3，
=
=
，
=
=
，
=
=
，
∴
的分布列为
| 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
（10分）
=
.（12分）
19.（1）证明:连接
.
因为
在底面
内的射影是线段
的中点
，所以
.
………………………………1分
又因为
，所以
平面
. ………………………………2分
所以
. ………………………………3分
在
与
中，由勾股定理，得
，
，
因为
，所以
. ………………………………4分
又
是线段
的中点，所以
.所以
. ………………………………5分
又因为四边形
是平行四边形，
所以四边形
是菱形. ………………………………6分
（2）解：（方法一）如图，分别以
所在直线为
轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
若
，
，
则点
.
则
，得点
.
则
. ………………………………8分
设平面
的一个法向量为
，则
由
得
得
取
，得平面
的一个法向量为
； ………………………………10分
设直线
与平面
所成角的正弦值为
，则
.
即直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………………………………12分
（方法二）由（1）可知AB=AC，BA1=CA1，
因为A1O=OC=OB,所以
在
，
………………………………8分
又由
平面
，得
，又
，所以
.
所以四边形B1C1CB为矩形，所以四边形B1C1CB的面积S四边形B1C1CB=
.
设点
到平面B1C1CB的距离为
，
，
解得
，所以所求角的正弦值
即直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………………………………12分
20.解: （1）设椭圆
的半焦距为
.
因为直线
的方程为
，令
，得
，则点
.则
.
……………………………………1分
令
，得
，则点
. ……………………………………2分
由
，得
，解得
.所以
.
……………………………………3分
所以
. ……………………………………4分
所以椭圆
的方程为
. ……………………………………5分
（2）存在点
，满足
. ……………………………………6分
因为直线
与直线
之间的距离为
，
所以
，解得
或
.
因为
，所以
舍去.故
. ……………………………………7分
故直线
的方程为
. ……………………………………8分
设直线
上存在点
满足
，且点
，
则
，
整理得
，它表示圆心在
，半径
的圆.
……………………………………10分
因为圆心
到
的距离为
，
所以直线
与圆
相交. ……………………………………11分
所以在直线
上存在两个不同点
，满足
.
……………………………………12分
21. 解:（1）函数
的定义域是
.
………………………………1分
当
时，
，（x>0）
则
. ………………………………2分
因为
，
，所以
恒成立，且
不恒为0，
所以函数
在
上单调递减. ………………………………4分
（2）
（
为常数且
），其定义域是
. ………………………………5分
则
. ………………………………6分
令
，得
，
解得
（
舍去，因为
，则
，显然不满足
）.
则
. ………………………………8分
且令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上是减函数，在
上是增函数. ………………………………9分
所以函数
的极小值是
.
即
. ………………………………10分
而
是与
无关的常数，
所以函数
的极小值是一个与
无关的常数. ………………………………12分
22. 解：(1)因为
为圆的直径，
为两圆的交点，
所以
，
……2分
因为AB为圆的直径，O为AB的中点，所以OA=OD,
所以
，因为
～
，所以
，……4分
由于
=180°,
所以
，所以
.……6分
(2)由（1）易知 
=
，所以
～
，……8分
所以
，
.……10分
23. 解：（1） 曲线
的极坐标方程为
可化为
，
∴曲线
的直角坐标方程为
，
曲线
的参数方程化为普通方程为
. 5分
(2)由（1）知曲线
是圆心为C（1，1）半径为2的圆，曲线
是圆心为D（-1，-2），半径为2的圆，
圆心间的距离
＜2+2=4，
∴圆
与圆
相交，
∴圆
与圆
公共弦所在的直线方程为
，
∴圆心（1,1）到公共弦的距离
，
∴公共弦长为
. 10分
24.解：（1）当
时，不等式可化为
，解得
.所以
； ……………………………………2分
当
时，不等式可化为
，解得
.所以
；
……………………………………3分
当
时，不等式可化为
，解得
.所以
.
……………………………………4分
综上，不等式的解集为
. ……………………………………5分
（2）
即为
，即
.
即
. ……………………………………7分
因为
， ……………………………………8分
所以要对任意的实数
，使得
成立，需使
，解得
.
即实数
的取值范围是
. ……………………………………10分
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