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安徽省马鞍山市2017届高三第一次教学质量检测数学(文)试题及答案

2017年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测

高三文科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

B

C

B

C

D

B

C

D

C

C

二、填空题

(13); (14); (15); (16)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

已知数列的前项和为,且

(Ⅰ)求通项公式;

(Ⅱ)设,求数列项的和

解:(Ⅰ)∵

时,时,

所以 ……………………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ………………………………………8分

……………………①

……②

①-②得:

…………………………………11

…………………………………12分

【命题意图】考查数列的概念,等差数列、等比数列的基本运算,考查运算能力,简单题.

(18)(本小题满分12分)

是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它是形成雾霾的原因之一.日均值越小,空气质量越好. 2012年2月29日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:

日均值k(微克)

空气质量等级

一级

二级

超标

针对日趋严重的雾霾情况,各地环保部门做了积极的治理。马鞍山市环保局从市区2015年11月~12月和2016年11月~12月的检测数据中各随机抽取9天的数据来分析治理效果.样本数据如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)

(Ⅰ)分别求两年样本数据的中位数和平均值,并以此推断2016年11月~12月的空气质量是否比2015年同期有所提高?

(Ⅱ)在2015年的9个样本数据中随机抽取两天的数据,求这两天空气质量均超标的概率?

解:(Ⅰ)由茎叶图中数据可知,2015,2016两年数据的中位数分别为61,51.

2015年数据的平均数为

2016年数据的平均数为

显然2016年11月~12月的空气质量比2015年同期有所提高. …………………6分

(Ⅱ)从2015年的9个数据随机抽取两天的数据,共有36种不同的情况,而在这9个数据中,有四个数据是空气质量超标的数据,从中随机抽取两个,有6种不同的情况.所以所求概率为

.………………………………………………………………………………12分

【命题意图】考查统计基本知识、古典概型概率的计算,简单题.

(19)(本小题满分12分)

如图1,在直角梯形中,中点,,垂足为.沿将四边形折起,连接,得到如图2所示的六面体. 若折起后的中点到点的距离为3.

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)求六面体的体积.

解:(Ⅰ)证明:取中点,连接. 根据题意可知,四边形是边长为的正方形,所以. 易求得,所以,于是;而,所以平面.又因为平面,所以平面平面.………………6分

(Ⅱ)连接,则.

由(Ⅰ)的结论及得,平面平面

所以,所以

………………………………………………………………12分

(其他证法和求法酌情给分).

【命题意图】考查空间线面位置关系、几何体体积的计算,考查空间想象能力,中等题.

(20)(本小题满分12分)

设动点到定点的距离比它到轴的距离大,记点的轨迹为曲线

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)设是曲线上一点,与两坐标轴都不平行的直线过点,且它们的倾斜角互补. 若直线与曲线的另一交点分别是,证明直线的斜率为定值.

解:(Ⅰ)由题意知,动点到定点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义知点的轨迹方程是以为焦点,以为准线的抛物线,故曲线的方程为…………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由在曲线C上,得,从而 ……………………………5分

,直线,则 ……………7分

,同理,……………………………9分

,∴ …………………11分

,直线的斜率为定值. ………………………12分

【命题意图】考查曲线与方程的概念、直线和圆锥曲线的位置关系,考查运算能力,较难题.

(21)(本小题满分12分)[来源:学科网ZXXK]

已知函数

(Ⅰ)当时,求函数的极值;

(Ⅱ)讨论函数的单调性.

解:(Ⅰ)当时, ………………………………………1分

………………………2分

,或

+

0

-

0

+



时,有极大值………………………………………3分

时,有极小值 ……………………………………………4分

(Ⅱ)

(1)当时,

,即在上,函数单调递增,

,即在上,函数单调递减;…………6分

(2)当时,令,或

①当时,无论均有,又

即在上,,从而函数上单调递增;………………8分

②当时,

时,函数单调递增;

时,函数单调递减;……10分

③当时,

时,函数单调递增;

时,函数单调递减;……12分

【命题意图】考查导数的应用,考查分类讨论思想和运算能力,较难题.

请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

(22)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,),在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线

(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)若曲线和曲线相交于两点,求的值.

解:(Ⅰ)由………………………………3分

.………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)∵直线与圆相交于两点,

的圆心,为半径为1,

故圆心到直线的距离

.……………………………………………………10分

【命题意图】考查参数方程与极坐标方程的概念、直线和圆的位置关系,中等题.

(23)(本小题满分10分)

已知函数

(Ⅰ)若,解不等式:

(Ⅱ)若的解集为),求的最小值.

解:(Ⅰ)当时,不等式为,即

∴解得,或,故原不等式的解集为,或.………………5分

(Ⅱ)

的解集为,∴,……………………………………7分

(当且仅当时取等号),∴的最小值为2.……10分

【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式,中等题.



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