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安徽省马鞍山市2017届高三第一次教学质量检测数学(文)试题及答案
2017年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测
高三文科数学参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | A | B | C | B | C | D | B | C | D | C | C |
二、填空题
(13); (14); (15); (16)
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求通项公式;
(Ⅱ)设,求数列前项的和.
解:(Ⅰ)∵
∴时,;时,
所以 ……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ………………………………………8分
……………………①
……②
①-②得:
…………………………………11分
…………………………………12分
【命题意图】考查数列的概念,等差数列、等比数列的基本运算,考查运算能力,简单题.
(18)(本小题满分12分)
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它是形成雾霾的原因之一.日均值越小,空气质量越好. 2012年2月29日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:
日均值k(微克) | 空气质量等级 |
一级 | |
二级 | |
超标 |
针对日趋严重的雾霾情况,各地环保部门做了积极的治理。马鞍山市环保局从市区2015年11月~12月和2016年11月~12月的检测数据中各随机抽取9天的数据来分析治理效果.样本数据如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)
(Ⅰ)分别求两年样本数据的中位数和平均值,并以此推断2016年11月~12月的空气质量是否比2015年同期有所提高?
(Ⅱ)在2015年的9个样本数据中随机抽取两天的数据,求这两天空气质量均超标的概率?
解:(Ⅰ)由茎叶图中数据可知,2015,2016两年数据的中位数分别为61,51.
2015年数据的平均数为 ,
2016年数据的平均数为 ,
显然2016年11月~12月的空气质量比2015年同期有所提高. …………………6分
(Ⅱ)从2015年的9个数据随机抽取两天的数据,共有36种不同的情况,而在这9个数据中,有四个数据是空气质量超标的数据,从中随机抽取两个,有6种不同的情况.所以所求概率为
.………………………………………………………………………………12分
【命题意图】考查统计基本知识、古典概型概率的计算,简单题.
(19)(本小题满分12分)
如图1,在直角梯形中,,,,,为中点,,垂足为.沿将四边形折起,连接,得到如图2所示的六面体. 若折起后的中点到点的距离为3.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求六面体的体积.
解:(Ⅰ)证明:取中点,连接. 根据题意可知,四边形是边长为的正方形,所以. 易求得,所以,于是;而,所以平面.又因为平面,所以平面平面.………………6分
(Ⅱ)连接,则.
由(Ⅰ)的结论及得,平面,平面,
所以,,所以
. ………………………………………………………………12分
(其他证法和求法酌情给分).
【命题意图】考查空间线面位置关系、几何体体积的计算,考查空间想象能力,中等题.
(20)(本小题满分12分)
设动点到定点的距离比它到轴的距离大,记点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设是曲线上一点,与两坐标轴都不平行的直线过点,且它们的倾斜角互补. 若直线与曲线的另一交点分别是,证明直线的斜率为定值.
解:(Ⅰ)由题意知,动点到定点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义知点的轨迹方程是以为焦点,以为准线的抛物线,故曲线的方程为…………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由在曲线C上,得,从而 ……………………………5分
设,直线,则 ……………7分
由,
∴,同理,……………………………9分
∴,∴ …………………11分
∴,直线的斜率为定值. ………………………12分
【命题意图】考查曲线与方程的概念、直线和圆锥曲线的位置关系,考查运算能力,较难题.
(21)(本小题满分12分)[来源:学科网ZXXK]
已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)讨论函数的单调性.
解:(Ⅰ)当时, ………………………………………1分
………………………2分
令得,或.
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | ↘ | ↗ |
∴时,有极大值………………………………………3分
时,有极小值 ……………………………………………4分
(Ⅱ)
(1)当时,,
由得,即在上,函数单调递增,
由得,即在上,函数单调递减;…………6分
(2)当时,令得,或.
①当即时,无论或均有,又
即在上,,从而函数在上单调递增;………………8分
②当即时,
由时,函数单调递增;
由时,函数单调递减;……10分
③当即时,
由时,函数单调递增;
由时,函数单调递减;……12分
【命题意图】考查导数的应用,考查分类讨论思想和运算能力,较难题.
请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线和曲线相交于两点,求的值.
解:(Ⅰ)由………………………………3分
由
即.………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)∵直线与圆相交于两点,
又的圆心,为半径为1,
故圆心到直线的距离,
∴.……………………………………………………10分
【命题意图】考查参数方程与极坐标方程的概念、直线和圆的位置关系,中等题.
(23)(本小题满分10分)
已知函数.
(Ⅰ)若,解不等式:;
(Ⅱ)若的解集为,(,),求的最小值.
解:(Ⅰ)当时,不等式为,即,
∵,
∴解得,或,故原不等式的解集为,或.………………5分
(Ⅱ),
∵的解集为,∴,……………………………………7分
∴,
∴(当且仅当即时取等号),∴的最小值为2.……10分
【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式,中等题.
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